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0. 9循环真的等于1吗?
发布时间:2016年05月31日      来源:铁岭县教师学校

0. 9循环真的等于1吗?

我们都知道,0.9<1 。当然,我如果写出如下的式子:0.99<1、0.999<1、0.9999<1、0.99999<1 ,你也一定会说是正确的。那么,我们是否可以这样说,无论小数点后面有多少个9,它的值一定小于1呢?

有些人是这样想的:像这样的小数,其整数部分是0,那么无论小数部分是什么情形,它的值一定小于1,不可能有其他情况。其实,这种认识是错误的。我们应该这样说:当小数点后9的个数是有限个的时候,小数点后无论有多少个9,它的值都小于1;而当小数点后9的个数是无限的时候,它的值等于1,即0.9999…=1 。

有些人始终不相信0.=1这个事实。他们始终坚信,无论小数点后有多少个9,即使是无限个,它的值一定是小于1的。好在我们是要“以理服人”的,在数学中我们更是要运用逻辑思维来进行判断、推理。下面,我将用几种方法证明0.=1

在小学,我们可以这样来证明:

将分数化成小数,得: =0.1111… ,

将此等式两端同时乘以9,得:1=0.9999… ,即0.=1

(本例我们还可以利用=0.3333…来证明。)

   到了初中,学会了列方程解应用题,我们可以这样来证明:

   设x= 0.,将等式两端同时乘以10,得:10x=9+,0.

由于x=0. ,所以方程化为10x=9+x ,

解得: x=1 。

到了高中,学习了数列知识,我们可以这样来证明:

设S=0.,即S=0.9+0.09+0.009+0.0009+0.00009+…

我们将S看做首项是0.9公比是0.1的无穷等比数列所有项的和,则有:

S===1

   写到这里,大家总该相信0.=1这个事实了吧!如果你还不相信的话,那就应该补一补数学了,至少应该补一补小学数学中分数、小数互化这部分内容。

   之所以有些人会产生这样的错误认识,我想主要原因不外乎以下两种情况:一是对无限的理解不准确,仍然用“有限”的思维来理解和认识“无限”,不能用无限的观点和有关知识分析问题解决问题。二是盲目地运用不完全归纳法,导致错误的认识。不完全归纳法是数学中很重要的一种方法,许多定律、性质、结论等都是通过不完全归纳法得到的。但运用不完全归纳法得到的结论,有时是正确的,有时是错误的,这一点我们必须加以注意。在本例中,小数点后9的个数是有限个的时候,无论小数点后有几个9,其值都小于1,但我们不能据此得到一般性结论:无论小数点后有多少个9,其值都小于1。因为当小数点后9的个数是无限的时候,我们会得到另一个结论。

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